ÁLGEBRA SUPERIOR

ÁLGEBRA SUPERIOR

TEMAS DE ÁLGEBRA SUPERIOR

DOCENTE:
OLGA MARÍA TESTA RODRÍGUEZ

ALUMNO:
EDGAR AURELIO TODD FIGUEROA

GRUPO:
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS (LAM 2)

INDICE

RELACIÓN

DEFINICIÓN
TIPOS DE RELACIÓN
EJEMPLOS

FUNCIONES

DEFINICIÓN
TIPOS DE FUNCIONES
EJEMPLOS
DOMINIO DE FUNCIONES
CODOMINIO DE FUNCIONES
EJEMPLO DE DOMINIO Y RECORRIDO

COMBINACIÓN

DEFINICIÓN
EJEMPLOS

PERMUTACIÓN

DEFINICIÓN
EJEMPLOS

ÁLGEBRA MATRICIAL

DEFINICIÓN
TIPOS DE MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES

INTRODUCCIÓN

El presente blog esta constituido por una serie de temas que hacen relevancia y que permiten alcanzar una mejor comprensión sobre lo que abarca el álgebra superior, ademas de que esta redactado con conceptos, clasificación en algunos temas de gran importancia, y ejemplos para permitir entender mejor sobre lo que se esta analizando. El álgebra es una rama de la matemática que profundiza y abarca grandes temas sobre ecuaciones con variables donde se empieza por lo básico y poco a poco se va entrando en mas complejidad, este trabajo recopilara los temas aprendidos en el semestre y hará hincapié en que el lector se interese y tenga un gran enriquecimiento de los temas.

ÁLGEBRA

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos, de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente estos elementos podrían ser interpretados como números o cantidades, por lo que en álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.

En otra definición:

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)

ÁLGEBRA SUPERIOR

El conocimiento del álgebra superior es indispensable para la formación matemática.

Como principio, en cuanto a los temas que se desarrollan en esta materia se encuentran

los conjuntos y en especial los conjuntos numéricos.

Álgebra lineal: es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como
vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más
formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Algebra abstracta: es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial.

Tipología general y algebraica: Es una rama de la matemática en la que se usan las
herramientas del Álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos.

CONCEPTOS PRELIMINARES

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto.
Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus
elementos con minúsculas.

Se utilizan llaves para encerrar los elementos de un conjunto, por ejemplo:

A = {2, 3, 5, 7}

Para indicar la pertenencia a un conjunto usamos el símbolo Î y para indicar la no pertenencia el símbolo Ï, ejemplos:

3 Î A 6 Ï A

ESPECIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto puede especificarse de varias maneras:

•Enumerando sus elementos

•Especificando mediante un enunciado los elementos del conjunto

•Mediante una proposición abierta

El conjunto A se puede especificar como:

Enumeración. A = {2, 3, 5, 7}

Especificación: A = {números primos menores que 10}

Proposición: A = { x | x es primo Ù x<10}

SUBCONJUNTOS

A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo representamos por A Í B o sea que:

Si A es diferente de B y A es subconjunto de B, lo denotamos por A Ì B

Ejemplo:

A = {1 .. 100} y B = {2, 4, 6, … , 50}, entonces B Ì A pero

A Ë B

DIAGRAMAS DE VENN

El conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos relevante a un problema. Se denota por U.

El conjunto universo se representa como un rectángulo.

Los demás conjuntos se representas por curvas cerradas dentro del universo.

U = {1, …, 10} A = {3, 4, 6, 8} B = {5, 6, 7, 8, 9}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

Definimos la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y se indica por A È B.

A È B = {x | x Î A o x Î B }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8}

A È B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS

Definimos la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B y se indica por A Ç B.

A Ç B = {x | x Î A y x Î B }

Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8}

A È B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que pertenecen a un universo en el que esta definido el conjunto y que no pertenecen al conjunto. Se representa por.

A'= {x | x Ï A }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

A’ = {2, 6, 7, 8, 9, 10}

DIFERENCIA

Definimos la diferencia de A y B como el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. La designamos por A - B.

A - B = {x | x Î A y x Ï B }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8

A - B = {1, 5}

RELACIONES

Se define una relación del conjunto A con el conjunto B como un subconjunto de A ´ B. Si R Í A ´ B y (a, b) Î R se dice que a está relacionado con b bajo la relación R y se denota por aRb.

Para expresar una relación de A en B, escribimos: R: A « B

Si A y B son el mismo conjunto, entonces se dice que la relación es sobre A.

DOMINIO E IMAGEN

Se definen los subconjuntos Dominio e Imagen de la relación R como sigue:

Dom(R)={a | a Î A y (a, x) Î R para algún x Î B}

Im(R)={b | b Î B y (y, b) Î R para algún y Î A}

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si "a: (a, a) Î R

O equivalentemente Ø$ a: (a, a) Ï R

R = {(a, a), (b, a), (b, b), (b, c), (c, c)} reflexiva

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no reflexiva

Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva también llamada antirreflexiva o antirrefleja, si "a: (a, a) Ï R

O equivalentemente Ø$ a: (a, a) Î R

W = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, a)} irreflexiva

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no irreflexiva

Una relación R es simétrica si "a,b: (a, b) Î R ® (b, a) Î R.

También Ø$ a,b: (a, b) Î R Ù (b, a) Ï R

R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} simétrica

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no simétrica

Una relación R es antisimétrica si "a,b: ((a, b)ÎRÙ(b, a)ÎR) ® a = b. También Ø$ a,b: (a, b) Î R Ù (b, a) Î R Ù a ¹ b

R = {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c) } antisimétrica

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no antisimétrica

La simetría no es lo opuesto de la antisimetría.

Ejemplos:

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad)

Otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad)

Otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n)

Otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Una relación R es transitiva si "a,b: (a, b) Î R y (b, c) Î R ® (a, c) Î R

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} transitiva

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no transitiva

Una relación es total si "a,b: (a, b) Î R Ú (b, a) Î R.

W = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b)} total

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} no total

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia.

Una relación de equivalencia define clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia es un subconjunto del conjunto A.

Los subconjuntos definidos en las clases de equivalencia son disjuntos y la unión de ellos es igual al conjunto A, se dice que forman una partición del conjunto A.

Para cada elemento x de A se define un conjunto [x]={y Î A | (x, y) Î R} como la clase de equivalencia de x.

Ejemplos:

La relación de igualdad de enteros define una relación de equivalencia, dado que

a = a (reflexiva)

si a = b ® b = a (simétrica)

si a = b Ù b = c ® a= c (transitiva)

Por lo tanto es una relación de equivalencia.

RELACIONES DE ORDEN PARCIAL

En matemáticas una relación binaria R sobre un conjunto x es anti simétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a x si esta relacionada con b y b esta relacionada con a entonces a=b

FUNCIONES

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre
sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos la función
se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con
uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio
y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del
dominio con dos elementos del codominio.

DOMINIO Y CODOMINIO

Dominio: es el conjunto de los valores que puede tomar x o que toma x para
que exista la función.

Codominio o rango: es el conjunto de valores que se obtienen al sustituir los
valores del dominio en la función.

FUNCIONES INYECTIVAS

Una función es inyectiva si, para cualquier (x, y) Î f y (z, y) Î f , entonces x = z.

FUNCIONES SOBREYECTIVAS

Una función es sobreyectiva si, para cualquier y Î B existe

una x Î A, para la que f(x) = y.

FUNCIONES BIYECTIVAS

Una que es inyectiva y sobreyectiva es una biyección o

correspondencia uno a uno.

GRAFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que
toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la
representa de la forma:

FUNCIÓN LINEAL

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función

polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en

el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c representa una parábola y tiene como

dominio los reales. El punto máximo o mínimo de la parábola (o sea el vértice)

tiene abcisa (coordenada horizontal) x = –b/2a.

EJEMPLO :

Graficar y obtener el dominio y recorrido de f(x) = 3x² – 5x – 6.

El vértice de la parábola se encuentra en x = –(–5)/(2 ´ 3) = 5/6.

Vídeo: Funciones cuadráticas

FUNCIÓN CUBICA

La función cúbica f(x) = ax³ + bx² + cx + d tiene como dominio y como

recorrido el conjunto de los números reales (Â). Para graficar estas funciones,

hay que elaborar una tabla de valores.

EJEMPLO:

Grafique y obtenga el dominio y el recorrido de f(x) = 2x³ + 3x² – 12x.

Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.

FUNCIONES RACIONALES

FUNCIONES POLINÓMICAS

El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa

como Dom f(x)= ℜ.

No tenemos que calcular nada. La función existe desde x = - ∞ hasta x = + ∞. El
dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞)-Son funciones
polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones

polinómicas de grado superior. EJEMPLOS:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA	DOMINIO	RANGO
SENO	( -∞ , ∞ )	[ -1 , 1 ]
COSENO	( -∞ , ∞ )	[ -1 , 1 ]
TANGENTE	( -∞ , ∞ ) excepto en nπ/2 para n entero	( -∞ , ∞ )
COTANGENTE	( -∞ , ∞ ) excepto en nπ para n entero	( -∞ , ∞ )
SECANTE	( -∞ , ∞ ) excepto en nπ/2 para n entero	( -∞ , -1 ] y [ 1 , ∞ )
COSECANTE	( -∞ , ∞ ) excepto en nπ para n entero	( -∞ , -1 ] y [ 1 , ∞ )

Para entender mas sobre el tema entre al siguiente archivo:

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rango-funcion.pdf

COMBINACIONES

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Ejemplo:

De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos
de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

PERMUTACIONES
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que

ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Ejemplo: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,
5.?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

ÁLGEBRA MATRICIAL

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar

los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones

lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un

vector para las aplicaciones lineales.Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de

varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

MATRICES

Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un

elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y

la columna a la que pertenece.

DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo

número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij), y

un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j,

por a_ij.

MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

MATRIZ FILA

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

MATRIZ COLUMNA

La matriz columna tiene una sola columna

MATRIZ RECTANGULAR

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo

su dimensión mxn.

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

MATRIZ NULA

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la
diagonal principal son nulos.

MATRIZ ESCALAR

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas

MATRIZ REGULAR

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

MATRIZ SINGULAR

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

MATRIZ IDEMPOTENTE

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

MATRIZ INVOLUTIVA

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -A^t.

MATRIZ ORTOGONAL

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·A^t = I.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la
matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). La matriz suma se obtienen sumando los
elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un
número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada
elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide
con el número de filas de B. M_{m x n} x M_{n x p}= M _{m x p.}El elemento c_ij de la
matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la
matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.